在使用Tensorflow的过程中，我们经常遇到数组形状不同的情况，但有时候发现二者还能进行加减乘除的运算，在这背后，其实是Tensorflow的broadcast即广播机制帮了大忙。而Tensorflow中的广播机制其实是效仿的numpy中的广播机制。本篇，我们就来一同研究下numpy和Tensorflow中的广播机制。

1、numpy广播原理

1.1 数组和标量计算时的广播

标量和数组合并时就会发生简单的广播，标量会和数组中的每一个元素进行计算。

举个例子：

arr = np.arange(5)
arr * 4

得到的输出为：

array([ 0,  4,  8, 12, 16])

这个是很好理解的，我们重点来研究数组之间的广播

1.2 数组之间计算时的广播

用书中的话来介绍广播的规则：两个数组之间广播的规则：如果两个数组的后缘维度（即从末尾开始算起的维度）的轴长度相等或其中一方的长度为1，则认为他们是广播兼容的，广播会在缺失和(或)长度为1的维度上进行。

上面的规则挺拗口的，我们举几个例子吧：

二维的情况

假设有一个二维数组，我们想要减去它在0轴和1轴的均值，这时的广播是什么样的呢。

我们先来看减去0轴均值的情况：

arr = np.arange(12).reshape(4,3)
arr-arr.mean(0)

输出的结果为：

array([[-4.5, -4.5, -4.5],
       [-1.5, -1.5, -1.5],
       [ 1.5,  1.5,  1.5],
       [ 4.5,  4.5,  4.5]])

0轴的平均值为[4.5,5.5,6.5]，形状为(3,)，而原数组形状为(4,3)，在进行广播时，从后往前比较两个数组的形状，首先是3=3，满足条件而继续比较，这时候发现其中一个数组的形状数组遍历完成，因此会在缺失轴即0轴上进行广播。

可以理解成将均值数组在0轴上复制4份，变成形状(4,3)的数组，再与原数组进行计算。

书中的图形象的表示了这个过程(数据不一样请忽略)：

我们再来看一下减去1轴平均值的情况，即每行都减去该行的平均值：

arr - arr.mean(1)

此时报错了：

我们再来念叨一遍我们的广播规则，均值数组的形状为(4,)，而原数组形状为(4,3)，按照比较规则，4 ！= 3，因此不符合广播的条件，因此报错。

正确的做法是什么呢，因为原数组在0轴上的形状为4，我们的均值数组必须要先有一个值能够跟3比较同时满足我们的广播规则，这个值不用多想，就是1。因此我们需要先将均值数组变成(4,1)的形状，再去进行运算：

arr-arr.mean(1).reshape((4,1))

得到正确的结果：

array([[-1., 0., 1.],
    [-1., 0., 1.],
    [-1., 0., 1.],
    [-1., 0., 1.]])

三维的情况

理解了二维的情况，我们也就能很快的理解三维数组的情况。

首先看下图：

根据广播原则分析：arr1的shape为(3,4,2),arr2的shape为(4,2)，它们的后缘轴长度都为(4,2)，所以可以在0轴进行广播。因此，arr2在0轴上复制三份，shape变为(3,4,2)，再进行计算。

不只是0轴，1轴和2轴也都可以进行广播。但形状必须满足一定的条件。举个例子来说，我们arr1的shape为(8,5,3)，想要在0轴上广播的话，arr2的shape是(1,5,3)或者(5,3)，想要在1轴上进行广播的话，arr2的shape是(8,1,3)，想要在2轴上广播的话，arr2的shape必须是(8,5,1)。

我们来写几个例子吧：

arr2 = np.arange(24).reshape((2,3,4))
arr3_0 = np.arange(12).reshape((3,4))
print("0轴广播")
print(arr2 - arr3_0)

arr3_1 = np.arange(8).reshape((2,1,4))
print("1轴广播")
print(arr2 - arr3_1)

arr3_2 = np.arange(6).reshape((2,3,1))
print("2轴广播")
print(arr2 - arr3_2)

输出为：

0轴广播
[[[ 0  0  0  0]
  [ 0  0  0  0]
  [ 0  0  0  0]]

 [[12 12 12 12]
  [12 12 12 12]
  [12 12 12 12]]]
1轴广播
[[[ 0  0  0  0]
  [ 4  4  4  4]
  [ 8  8  8  8]]

 [[ 8  8  8  8]
  [12 12 12 12]
  [16 16 16 16]]]
2轴广播
[[[ 0  1  2  3]
  [ 3  4  5  6]
  [ 6  7  8  9]]

 [[ 9 10 11 12]
  [12 13 14 15]
  [15 16
 17 18]]]

如果我们想在两个轴上进行广播，那arr2的shape要满足什么条件呢？

arr1.shape 广播轴 arr2.shape (8,5,3) 0,1 (3,),(1,3),(1,1,3) (8,5,3) 0,2 (5,1),(1,5,1) (8,5,3) 1,2 (8,1,1)

具体的例子就不给出啦，嘻嘻。

2、Tensorflow 广播举例

Tensorflow中的广播机制和numpy是一样的，因此我们给出一些简单的举例：

二维的情况

sess = tf.Session()
a = tf.Variable(tf.random_normal((2,3),0,0.1))
b = tf.Variable(tf.random_normal((2,1),0,0.1))
c = a - b
sess.run(tf.global_variables_initializer())
sess.run(c)

输出为：

array([[-0.1419442 ,  0.14135399,  0.22752595],
       [ 0.1382471 ,  0.28228047,  0.13102233]], dtype=float32)

三维的情况

sess = tf.Session()
a = tf.Variable(tf.random_normal((2,3,4),0,0.1))
b = tf.Variable(tf.random_normal((2,1,4),0,0.1))
c = a - b
sess.run(tf.global_variables_initializer())
sess.run(c)

输出为：

array([[[-0.0154749 , -0.02047186, -0.01022427, -0.08932371],
        [-0.12693939, -0.08069084, -0.15459496,  0.09405404],
        [ 0.09730847,  0.06936138,  0.04050628,  0.15374713]],

       [[-0.02691782, -0.26384184,  0.05825682, -0.07617196],
        [-0.02653179, -0.01997554, -0.06522765,  0.03028341],
        [-0.07577246,  0.03199019,  0.0321    , -0.12571403]]], dtype=float32)

错误示例

sess = tf.Session()
a = tf.Variable(tf.random_normal((2,3,4),0,0.1))
b = tf.Variable(tf.random_normal((2,4),0,0.1))
c = a - b
sess.run(tf.global_variables_initializer())
sess.run(c)

输出为：

ValueError: Dimensions must be equal, but are 3 and 2 for 'sub_2' (op: 'Sub') with input shapes: [2,3,4], [2,4].