python如何求数组连续最大和的示例代码

脚本专栏 2024/11/8 佚名

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题目描述：

一个有 n 个元素的数组，这 n 个元素既可以是正数也可以是负数，数组中连续的一个或多个元素可以组成一个连续的子数组，一个数组可能有多个这种连续的子数组，求子数组的最大值。例如，对于数组 [1，-2，4，8，-4，7，-1，-5] 而言，其最大和的子数组为 [4,8,-4,7]，最大值为 15。

方法：

蛮力法
重复利用已经计算的子数组和
动态规划
优化的动态规划

1.蛮力法

找出所有的子数组，然后求出子数组的和，在所有子数组的和中取最大值。

代码实现：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time  : 2020/1/29 21:59
# @Author : buu
# @Software: PyCharm
# @Blog  ：https://blog.csdn.net/weixin_44321080
def maxSubArrSum(arr):
  if arr == None or len(arr) <= 0:
    print('参数不合理！')
    return
  thisSum = 0
  maxSum = 0
  i = 0
  while i < len(arr):
    j = i
    while j < len(arr):# j 控制连续子数组包含的元素个数
      thisSum = 0
      k = i # k 表示连续子数组开始的下标
      while k < j:
        thisSum += arr[k]
        k += 1
      if thisSum > maxSum:
        maxSum = thisSum
      j += 1
    i += 1
  return maxSum


if __name__ == '__main__':
  arr = [1, -2, 4, 8, -4, 7, -1, -5]
  print('1 max sub array sum:', maxSubArrSum(arr))

结果：

算法性能分析：
这种方法的时间复杂度为O(n3)；

2.重复利用已经计算的子数组和

由于 sum[i，j] = sum[i，j-1] + arr[j]，在计算 sum[i，j] 的时候可以使用前面已计算出的 sum[i，j-1] 而不需要重新计算，采用这种方法可以省去计算 sum[i，j-1] 的时间，从而提高效率。

代码实现：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time  : 2020/1/30 10:53
# @Author : buu
# @Software: PyCharm
# @Blog  ：https://blog.csdn.net/weixin_44321080
def maxSubArrSum(arr):
  if arr == None or len(arr) <= 0:
    print('参数不合理！')
    return
  maxSum = -2 ** 31
  i = 0
  while i < len(arr): # i: 0~7
    sums = 0
    j = i
    while j < len(arr): # j: 0~7
      sums += arr[j] # sums 重复利用
      if sums > maxSum: # 每加一次就判断一次
        maxSum = sums
      j += 1
    i += 1
  return maxSum


if __name__ == '__main__':
  arr = [1, -2, 4, 8, -4, 7, -1, -5]
  print('2 max sub array sum:', maxSubArrSum(arr))

结果：

算法性能分析：
使用了双重循环，时间复杂度为O(n2)；

3.动态规划

首先可以根据数组最后一个元素 arr[n-1] 与最大子数组的关系分为以下三种情况讨论：
(包含或不包含，包含的话肯定以最后一个元素结尾；不包含的话，或者最后一个元素单独构成最大子数组，或者转换为求 arr[1…n-2] 的最大子数组)
(1) 最大子数组包含 arr[n-1]，即最大子数组以 arr[n-1] 结尾；
(2) arr[n-1] 单独构成最大子数组；
(3) 最大子数组不包含 arr[n-1]，那么求 arr[1…n-1] 的最大子数组可以转换为求 arr[1…n-2] 的最大子数组。
所以有：

代码实现：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time  : 2020/1/30 11:19
# @Author : buu
# @Software: PyCharm
# @Blog  ：https://blog.csdn.net/weixin_44321080
def maxSubArrSum(arr):
  if arr == None or len(arr) <= 0:
    print('参数不合理！')
    return
  n = len(arr)
  End = [None] * n # End[i] 表示包含 arr[i] 的最大子数组和
  All = [None] * n # All[i] 表示最大子数组和
  End[n - 1] = arr[n - 1]
  All[n - 1] = arr[n - 1]
  End[0] = All[0] = arr[0]
  i = 1
  while i < n:
    End[i] = max(End[i - 1] + arr[i], arr[i]) # i=1时若arr[0]<0,则从arr[1]重新开始
    All[i] = max(End[i], All[i - 1])
    i += 1
  return All[n - 1]


if __name__ == '__main__':
  arr = [1, -2, 4, 8, -4, 7, -1, -5]
  print('3 max sub array sum:', maxSubArrSum(arr))

结果：

算法性能分析：
时间复杂度为O(n)；
由于额外申请了两个数组，所以空间复杂度为O(n)；

4.优化的动态规划

方法3中每次其实只用到了 End[i-1] 与 All[i-1] ，而不是整个数组中的值，所以可以定义两个变量来保存 End[i-1] 与 All[i-1] 的值，并且可以反复利用。

代码实现：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time  : 2020/1/30 11:55
# @Author : buu
# @Software: PyCharm
# @Blog  ：https://blog.csdn.net/weixin_44321080
def maxSubArrSum(arr):
  if arr == None or len(arr) <= 0:
    print('参数不合理！')
    return
  nAll = arr[0] # 最大子数组和
  nEnd = arr[0] # 包含最后一个元素的最大子数组和
  i = 1
  while i < len(arr):
    nEnd = max(nEnd + arr[i], arr[i])
    nAll = max(nEnd, nAll)
    i += 1
  return nAll


if __name__ == '__main__':
  arr = [1, -2, 4, 8, -4, 7, -1, -5]
  print('4 max sub array sum:', maxSubArrSum(arr))

结果：

算法性能分析：
时间复杂度为O(n)；
空间复杂度为O(1)；

引申：

在知道了子数组的最大值后，如何确定最大子数组的和？

思路：

代码实现：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time  : 2020/1/30 12:01
# @Author : buu
# @Software: PyCharm
# @Blog  ：https://blog.csdn.net/weixin_44321080
class Test:
  def __init__(self):
    self.begin = 0 # 记录最大子数组起始位置
    self.end = 0 # 记录最大子数组结束位置

  def maxSubArrSum(self, arr):
    n = len(arr)
    maxSum = -2 ** 31 # 子数组最大值
    nSum = 0 # 包含子数组最后一位的最大值
    nStart = 0
    i = 0
    while i < n:
      if nSum < 0:
        nSum = arr[i]
        nStart = i
      else:
        nSum += arr[i]
      if nSum > maxSum:
        maxSum = nSum
        self.begin = nStart
        self.end = i
      i += 1
    return maxSum

  def getBegin(self):
    return self.begin

  def getEnd(self):
    return self.end


if __name__ == '__main__':
  arr = [1, -2, 4, 8, -4, 7, -1, -5]
  t = Test()
  print('连续最大和为:', t.maxSubArrSum(arr))
  print('begin at ', t.getBegin())
  print('end at ', t.getEnd())

结果：